Definición de límite por épsilon-delta

Definición épsilon-delta

Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a.

El límite de f (x) cuando x tiende a es L, y se escribe

La función f(x) tiende hacia el límite L en a cuando, para todo e>0, existe algún d>0 tal que, para todo x que cumple 

(Es decir, que lím f(x) = L cuando x->a si y solo si se cumplen las condiciones indicadas.)

Esta definición (E, δ) es el laborioso resultado de más de cien años de intentos teóricos.

Tal definición significa la completa reagudización de un concepto, el de límite, que es indispensable para definir a su vez los dos conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal: los de derivada e integral.

Propiedades de los Límites

Haz clic      Propiedades de los límites

1º) Límite de una constante

2º) Límite de una constante por una función

3º) Límite de la suma algebraica de dos o más funciones

4º) Límite del producto de dos o más funciones

5º) Límite del cociente de dos funciones

6º) Límite de una función elevada a una potencia

7º) Límite de la raíz n-ésima de una función

8º) Límite de una función exponencial

Casos especiales de límite

Para

tenemos que:

Límite de funciones trigonométricas

El límite de una función trigonométrica en un punto dado se obtiene de igual manera que con las funciones algebraicas.

Teorema fundamental de límite

 a parti del teorema fundamental tenemos:

Límite

Idea intuitiva de límite

En esta clase se presenta la idea formal de límite como una operación aplicada a una función en un punto.

Se establecerán también algunos teoremas sobre límites de sumas, productos y cocientes de funciones.

Iniciaremos nuestro estudio con la idea intuitiva de límite.

La presentación de los ejemplos siguientes pretenden dar una idea del significado del límite de una función en un punto.

Consideramos la función definida por

con dominio en los reales R 

La representación gráfica es la siguiente:

  

Nos interesa observar el comportamiento de la función f para los valores de x más cercanos a 2 pero no iguales a 2

Veamos las tablas siguientes

Puede observarse de ambas tablas que conforme se aproxima más a 2,  f (x) toma, cada vez, valores más próximos a 3.

Esto puede escribirse utilizando la notación de límites escribimos

que se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a 2, es igual a 3

Límite

En matemática, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que en una sucesión o una función, al hablar de límite, decimos que tiene uno si se puede acercar a un cierto número (o sea, el límite) tanto como queramos.

Límite de una función

Sea f la función definida por la ecuación

para toda

De la gráfica puede observarse que aunque la función f no está definida para x = 2 cuando x toma valores muy cercanos a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos como:

Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas:

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como